FUNÇÃO DO 2º GRAU
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Função do 2º grau

 

Uma função para ser do 2º grau precisa assumir algumas características, pois ela deve ser dos reais para os reais, definida pela fórmula f(x) = ax2 + bx + c, sendo que a, b e c são números reais com a diferente de zero. Concluímos que a condição para que uma função seja do 2º grau é que o valor de a, da forma geral, não pode ser igual a zero.

Então, podemos dizer que a definição de função do 2º grau é: f: R→ R definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a ? R* e b e c ? R.


Numa função do segundo grau, os valores de b e c podem ser iguais a zero, quando isso ocorrer, a equação do segundo grau será considerada incompleta.

Veja alguns exemplos de Função do 2º grau:

f(x) = 5x2 – 2x + 8; a = 5, b = – 2 e c = 8 (Completa)

f(x) = x2 – 2x; a = 1, b = – 2 e c = 0 (Incompleta)

f(x) = – x2; a = –1, b = 0 e c = 0 (Incompleta) 


GRÁFICO DA FUNÇÃO

 

O gráfico da Função Polinomial do 2º Grau y = ax  2 + bx + c é uma parábola cujo eixo de simetria é uma reta vertical, paralela ao eixo y ou até mesmo o próprio eixo y, passando pelo vértice da parábola. 

Função Quadrática (Foto: Colégio Qi)

Concavidade da parábola

A parábola pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo. A parábola tem a concavidade voltada para cima quando a > 0 enquanto tem a concavidade voltada para baixo quando a < 0. Observe:

Figura (Foto: Colégio Qi)                                      a > 0                                                                                     a < 0

Interseção da parábola com o eixo x (eixo das abscissas):

A parábola intercepta o eixo x (eixo das abscissas) no ponto (x,0), ou seja, sempre que y for igual a zero. Logo, temos que ax2 + bx + c = 0. As raízes da função são raízes da equação do 2º grau, ou seja, x = -b ± b2-4ac2a 

Repare que, sendo  = b2 – 4ac, podemos ter: 

 Δ  < 0 =  a parábola não intercepta o eixo Ox.
Δ = 0 =  a parábola é tangente ao eixo Ox.
Δ > 0 =  a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos.

Observe as possibilidades descritas abaixo:

 

Figura (Foto: Colégio Qi)

NTERSEÇÃO DA PARÁBOLA COM O EIXO Y (EIXO DAS ORDENADAS):

A parábola intercepta o eixo das ordenadas sempre quando temos o valor de x igual a zero, ou seja, y = a.02 + b.0 + c = 0 + 0 + c = c. Logo, a parábola intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0,c).

VÉRTICE DA PARÁBOLA:

O vértice da parábola determina o ponto de mínimo ou de máximo da função. Tal vértice será o par ordenado (xv,yv). Vamos determinar o xv: -b/2a

Como o eixo de simetria passa pelo vértice e é equidistante as raízes, temos que o xvé a média aritmética das raízes. Para calcularmos a média aritmética entre duas raízes, basta somarmos os valores e, em seguida, dividir o resultado da soma por dois. Então, o xv será: 

xv =  −Δ/4c

 


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