Fração Geratriz de Uma Dízima Periódica
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Fração Geratriz

Fração geratriz é aquela que quando dividimos seu numerador pelo denominador, o resultado será uma dízima periódica (número decimal periódico).

Os números decimais periódicos apresentam um ou mais algarismos que se repetem infinitamente. Esse algarismo ou algarismos que se repetem representam o período do número.

Quando o parte decimal é composta apenas pelo período, a dizima é classificada como simples. Já quando além do período existir, na parte decimal, algarismos que não se repetem, a dízima será composta.

Exemplos

a parêntese direito espaço 4 sobre 9 igual a 0 vírgula 4444... espaço parêntese esquerdo d í z i m a espaço p e r i ó d i c a espaço s i m p l e s parêntese direito b parêntese direito espaço 32 sobre 9 igual a 3 vírgula 5555... espaço parêntese esquerdo d í z i m a espaço p e r i ó d i c a espaço s i m p l e s parêntese direito c parêntese direito espaço numerador começar estilo mostrar 52 fim do estilo sobre denominador começar estilo mostrar 90 fim do estilo fim da fração igual a 0 vírgula 5777... espaço parêntese esquerdo d í z i m a espaço p e r i ó d i c a espaço c o m p o s t a parêntese direito

Cálculo da fração geratriz

Encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica muitas vezes é necessário para que possamos efetuar cálculos, por exemplo, em expressões numéricas.

Para descobrir a fração geratriz de uma dízima periódica simples, podemos seguir os seguintes passos:

  • 1º passo: Igualar a dízima periódica a uma incógnita, por exemplo x, de forma a escrever uma equação do 1º grau.
  • 2º passo: Multiplicar ambos os lados da equação por um múltiplo de 10. Para descobrir qual será o múltiplo, devemos identificar quantos casas decimais devemos "andar" para que o período fique antes da vírgula.
  • 3º passo: Diminuir a equação encontrada da equação inicial.
  • 4º passo: Isolar a incógnita.

Exemplos

1) Encontre a fração geratriz do número 0,8888...

Solução

Primeiro vamos escrever a equação do 1º grau, igualando o número a x:

x = 0,8888...

Observe que o período é composto por um único algarismo (8). Assim sendo, temos que "andar" apenas uma casa para ter o período na frente da vírgula. Assim, multiplicaremos a equação por 10.

10 x = 10 . 0,8888...
10 x = 8,888...

Agora vamos diminuir as duas equações, ou seja:

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Isolando o x, encontramos a fração geratriz:

x igual a 8 sobre 9

2) Transforme o número decimal 0,454545... em fração.

Solução

Iremos seguir os mesmos passos do exemplo anterior. A única diferença é que agora o período é composto de 2 algarismos (45). Neste caso, teremos que "andar" duas casas, e então iremos multiplicar por 100.

x = 0,454545...
100 x = 100 . 0,454545...
100 x = 45,454545...

Subtraindo as equações:

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Isolando o x, descobrimos que a fração geratriz é igual a 45 sobre 99. Podemos ainda simplificar esta fração dividindo o numerador e o denominador por 9.

Assim, temos:

0 vírgula 454545... igual a 5 sobre 11

Quando a dízima periódica for composta, além dos passos indicados para a simples, devemos também multiplicar a primeira equação por um número múltiplo de 10, que a transforme em uma dízima simples.

Acompanhe o exemplo abaixo:

Qual a fração geratriz de 2,3616161...?

Veja também: Tipos de Frações

Solução

Neste exemplo, a dízima periódica é composta, pois o algarismo 3, que aparece depois da vírgula, não se repete.

Escrevendo a equação inicial, temos:

x = 2,3616161...

Como a dízima é composta, devemos primeiro multiplicar essa equação por 10, pois com isso, passamos o 3 para a frente da vírgula (algarismo que não se repete).

10 x = 23,616161...

Agora vamos escrever a outra equação multiplicando ambos os lados da equação inicial por 1000, pois assim, conseguimos passar o período para a frente da vírgula.

1000 x = 2361,616161...

Em seguida, faremos a subtração dessas duas equações e isolaremos o x para encontrar a fração geratriz.

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Veja também: Números Racionais

Método Prático

Para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica, podemos também utilizar um método prático.

Quando a dízima for simples, o numerador será igual a parte inteira com o período menos a parte inteira, e no denominador, a quantidades de "noves" igual ao número de algarismo do período.

Exemplos

1) Determine a fração geratriz da dízima periódica 0,222...

Solução

Para encontrar a fração geratriz, vamos usar o método prático conforme esquematizado abaixo:

Método prático para descobrir a fração geratriz

2) Qual a fração geratriz da dízima periódica 34,131313...?

Solução

Acompanhe o esquema abaixo para encontrar a fração geratriz.

Método prático para encontrar a fração geratriz

Quando a dízima for composta, o numerador será igual a parte que não se repete com o período, menos a parte que não se repete.

Exemplo

Encontre a fração geratriz da dízima periódica 6,3777...

Solução

Como a dízima periódica é composta, encontraremos a fração geratriz utilizando o seguinte esquema:

Método prático para encontrar a fração geratriz

 


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